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设f(n)=(a+b)n(n∈N*,n≥2),若f(n)的展开式中,存在某连续三项,其二项式系数依次差数列,则称f(n)具有性质P.(1)求证:f(7)具有性质P;(2)若存在n≤2015,使用f(n)具
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设f(n)=(a+b)n(n∈N*,n≥2),若f(n)的展开式中,存在某连续三项,其二项式系数依次差数列,则称f(n)具有性质P.
(1)求证:f(7)具有性质P;
(2)若存在n≤2015,使用f(n)具有性质P,求n的最大值.
(1)求证:f(7)具有性质P;
(2)若存在n≤2015,使用f(n)具有性质P,求n的最大值.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:f(7)=(a+b)7,二、三、四项的二项式系数为7,21,35,依次成等差数列,
所以f(7)具有性质P.
(2) 由题意,2Cnr=Cnr-1+Cnr+1,
整理可得4r(n-r)=(n-2)(n+1),
∴(n-2)(n+1)能被4整除,
∵n-2、n+1一奇一偶,
∴n-2或n+1为偶数时,必须能被4整除,
∵n≤2015
∴n的最大值为2012.
所以f(7)具有性质P.
(2) 由题意,2Cnr=Cnr-1+Cnr+1,
整理可得4r(n-r)=(n-2)(n+1),
∴(n-2)(n+1)能被4整除,
∵n-2、n+1一奇一偶,
∴n-2或n+1为偶数时,必须能被4整除,
∵n≤2015
∴n的最大值为2012.
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