已知f（x）=（x+m）2n+1与g（x）=（mx+1）2n（n∈N*，m≠0）．（Ⅰ）若n=3，f（x）与g（x）展开式中含x3项的系数相等，求实数m的值；（Ⅱ）若f（x）与g（x）展开式中含xn项的系数相等，求实数m

Question

已知f（x）=（x+m）²ⁿ⁺¹与g（x）=（mx+1）²ⁿ（n∈N^*，m≠0）．
（Ⅰ）若n=3，f（x）与g（x）展开式中含x³项的系数相等，求实数m的值；
（Ⅱ）若f（x）与g（x）展开式中含xⁿ项的系数相等，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当n=3时，f（x）=（x+m）⁷的展开式中
T_r+1=

C

r 7

x^7-rm^r，
令7-r=3，解得r=4，
∴f（x）展开式中含x³的项是

C

4 7

m⁴x³；
同理，g（x）=（mx+1）⁶展开式中的含x³项是

C

3 6

m³x³；
由题意得：

C

4 7

m⁴=

C

3 6

m³，…（3分）
解得m=(4)/(7)；   …（6分）
（Ⅱ）∵f（x）=（x+m）²ⁿ⁺¹展开式中的通项公式为T_r+1=

C

r 2n+1

x^2n+1-rm^r，
令2n+1-r=n，
解得r=n+1；
∴展开式中含xⁿ的项为

C

n+1 2n+1

mⁿ⁺¹xⁿ；
同理g（x）=（mx+1）²ⁿ展开式中含xⁿ的项为

C

n 2n

mⁿxⁿ，
由题意得

C

n+1 2n+1

mⁿ⁺¹=

C

n 2n

mⁿ，
解得m=(n+1)/(2n+1)=(1)/(2)（1+(1)/(2n+1)）；  …（9分）
∵n∈N^*，∴0<(1)/(2n+1)≤(1)/(2×1+1)，
∴1<1+(1)/(2n+1)≤1+(1)/(3)，
即(1)/(2)<(1)/(2)（1+(1)/(2n+1)）≤(2)/(3)，
即m∈（(1)/(2)，(2)/(3)]．  …（12分）