等差数列{an}中，a16+a17+a18=a9=-36，Sn为其前n项和．（1）求Sn的最小值，指出Sn取最小时的n值（2）数列bn=3an+66，求数列{bnbn+1}的前n项和．

Question

等差数列{a_n}中，a₁₆+a₁₇+a₁₈=a₉=-36，S_n为其前n项和．
（1）求S_n的最小值，指出S_n取最小时的n值
（2）数列b_n=(3)/(an+66)，求数列{b_nb_n+1}的前n项和．

Answer 1

（1）由a₁₆+a₁₇+a₁₈=a₉=-36，
得a₉=-36，a₁₇=-12，
∴d=(a17−a9)/(17−9)=3．
首项a₁=a₉-8d=-60，a_n=3n-63．…（2分）
Sn＝−60n+(n(n−1))/(2)×3
=(3)/(2)(n−(41)/(2))2−(3)/(2)×(412)/(2)，n∈N^*，…（4分）
∴n=20或n=21时，S_n最小，最小值为S₂₀=S₂₁=-630．…（6分）
（2）bn＝(3)/(an+66)=(1)/(n+1)，
b_nb_n+1=(1)/(n+1)−(1)/(n+2)=(1)/(n+1)−(1)/(n+2)，…（10分）
设数列{b_nb_n+1}的前n项和为T_n．
则Tn＝(1)/(2)−(1)/(3)+(1)/(3)−(1)/(4)+…+(1)/(n+1)−(1)/(n+2)
=(1)/(2)−(1)/(n+2)
=(n)/(2n+4)．…（12分）