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设a、b为实数,对所有正整数n(≥2),a^n+b^n是有理数,证明：a+b是有理数
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设a、b为实数,对所有正整数n(≥2),a^n+b^n是有理数,证明：a+b是有理数
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答案和解析
a^6+b^6=(a^2+b^2)(a^4+b^4-a^2xb^2)
因为a^6+b^6、a^2+b^2是有理数
所以a^4+b^4-a^2xb^2是有理数
又a^4+b^4是有理数
所以a^2xb^2是有理数 从而ab是有理数
再由a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-axb)
a^3+b^3、(a^2+b^2-axb)是有理数
故a+b是有理数
因为a^6+b^6、a^2+b^2是有理数
所以a^4+b^4-a^2xb^2是有理数
又a^4+b^4是有理数
所以a^2xb^2是有理数 从而ab是有理数
再由a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-axb)
a^3+b^3、(a^2+b^2-axb)是有理数
故a+b是有理数
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