如何证明x^3+x+1=0x无有理数的解呢?

Question

如何证明x^3+x+1=0 x无有理数的解呢?

Answer 1

显然方程x3+x+1=0没有x=0解,故假设方程x3+x+1=0有有理数解为x=a/b,其中a,b互质,
则：(a/b)3+a/b+1=0 ,化简整理得a3 +ab2+b3=a(a2+b2)+b3=0
又 x=a/b为有理数,则有三种情况
1.a为奇数,b为偶数,则a2为奇数,b2为偶数,b3为偶数,
则有：a(a2+b2)+b3=奇(奇+偶)+偶=奇×奇+偶=奇+偶≠0,
与a3 +ab2+b3=a(a2+b2)+b3=0,矛盾
2.a为奇数,b为奇数,则a2为奇数,b2为奇数,b3为奇数,
则有：奇(奇+奇)+奇=奇×偶+奇=偶+奇≠0,与a3 +ab2+b3=a(a2+b2)+b3=0,矛盾
3.a为偶数,b为奇数,则a2为偶数,b2为奇数,b3为奇数,
则有：偶(偶+奇)+奇=偶×奇+奇=偶+奇≠0,也与a3 +ab2+b3=a(a2+b2)+b3=0,矛盾
所以方程x3+x+1=0不可能有有理数解.