设p为正整数，证明：若p不是完全平方数，则p是无理数．

Question

设p为正整数，证明：若p不是完全平方数，则√(p)是无理数．

Answer 1

证明：假设√(p)是有理数，则存在互素的正整数m和n使得√(p)=(m)/(n)，
所以p=(m2)/(n2)，所以m²=pn²，所以m必为p的倍数．
设m=pk 则p²k²=pn²，所以pk²=n²，所以n也必是p的倍数，
这与正整数m和n互素矛盾．
综上所述，若p不是完全平方数，则√(p)是无理数．