是否存在常数p、q,使得x的四次方+p(x)的平方+q能被x的平方+2x+5整除?存在,请求出p、q的值不存在,请说明理由.我要看的懂的过程

Question

是否存在常数p、q,使得x的四次方+p(x)的平方+q能被x的平方+2x+5整除?
存在,请求出p、q的值不存在,请说明理由.
我要看的懂的过程

Answer 1

设(x^2+mx+n)(x^2+2x+5)=x^4+px^2+q,
所以x^4+(2+m)x^3+(5+2m+n)x^2+(5m+2n)x+5n=x^4+px^2+q,
比较系数得
2+m=0,(1)
5+2m+n=p,(2)
5m+2n=0,(3)
5n=q,(4)
由(1)得m=-2,
把m=-2代入(3)得n=5,
把m=-2,n=5代入(2)得p=-6,
把n=5代入(4)得q=25,
所以p=-6,q=25.