求所有质数,pqr,使得p的q次方+p的r次方为完全平方数

Question

求所有质数,p q r,使得p的q次方+p的r次方为完全平方数

Answer 1

不妨q>=r,则
p^q+p^r=(p^(q-r)+1)*p^r
若q=r,则括号内为2,则p只能为2,且r得为奇数.故p=2,q=r为任意奇质数为一种解.
若q>r,则括号内与括号外互质,则两者均为完全平方数,则r须为偶数,故r=2.设p^(q-r)+1=n^2
则p^(q-r)=(n-1)(n+1),显然p|n-1且p|n+1,显然p|2,而p为素数故p=2. 显然n+1=4且n-1=2,故q-r=3,即q=5.
所以所有的解为
p=2,q=r为任意的奇质数
或
p=2,q=5,r=2