级数∑1/n*ln（n）*ln（ln（n））为什么是发散的?可能没表述清楚，是∑1/（n*ln（n）*ln（ln（n）））

Question

级数∑1/n*ln（n）*ln（ln（n））为什么是发散的?
可能没表述清楚，是∑1/（n*ln（n）*ln（ln（n）））

Answer 1

自 n>e^e (≈15) 起,lnlnn>1,必有 lnnlnlnn>1,∑1/n 发散,
则级数 ∑lnnlnlnn/n 发散.
早表达清楚,就没有这不必要的反复了!
采用柯西积分判别法.令 f(n)=1/[n(lnn)ln(lnn)],
则 f(x)=1/(xlnxlnlnx) 在 x>e^e 上非负且递减,
∫f(x)dx =∫dx/(xlnxlnlnx)
=∫dlnx/(lnxlnlnx) =∫dlnlnx/(lnlnx)
=[lnlnlnx] = +∞.
故 ∑1/[n(lnn)ln(lnn)] = +∞,即发散.