单匝正方形线圈abcd的一半放在具有理想边界的匀强磁场中，线圈边长为L，电阻为R，匀强磁场的磁感应强度为B，线圈轴线OO′与磁场边界重合．（1）若线圈ab边受到向左的力，以速度v匀速

Question

单匝正方形线圈abcd的一半放在具有理想边界的匀强磁场中，线圈边长为L，电阻为R，匀强磁场的磁感应强度为B，线圈轴线OO′与磁场边界重合．

（1）若线圈ab边受到向左的力，以速度v匀速向左运动，从初始位置一直到线框全部进入磁场的过程中，外力所做的功为多少？
（1）若线圈以角速度ω绕轴线OO′匀速转动（ab边向纸外，cd边向纸内），在线圈转动一周的时间内，线圈上产生的焦耳热为多少？
（2）若线圈以角速度ω绕轴线OO′匀速转动（ab边向纸外，cd边向纸内），在线圈转动一周的时间内，请通过计算写出cd两端电势差U_cd随时间的表达式并作出Ucd随时间的表达式并作出U_cd随时间变化的示意图．

Answer 1

（1）产生的感应电动势为E=BLv，受到的安培力为：F=BIL(B2L2v)/(R)，
外力做功等于克服安培力所做的功为：W=F(L)/(2)=(B2L3v)/(2R)
（1）当线圈与磁场平行时感应电动势最大，最大值为：E_m=BSω=B(1)/(2)L2ω，
感应电动势的有效值为E=(√(2))/(2)Em，感应电流有效值为I=(E)/(R+r)，R产生的热量为：Q=I²RT，T=(2π)/(ω)，
联立得：Q=(πB2ωL4R)/(4(R+r)2)．
（2）当ab在磁场中时，cd两端的电压大小为：U_cd=(Em)/(4)=(1)/(8)BL²ωsinωt；
d点的电势高于c点；故表达式为：U_cd=-(1)/(8)BL²ωsinωt
当cd在磁场中时，cd端的电压为电源的路端电压为：U_cd=(3)/(4)Emsinωt=(3)/(8)BL²ωsinωt；d点电势高于点；
对应的图象如图所示：
答：（1）外力所做的功为(B2L3v)/(2R)
（1）一周内产生的焦耳热为(πB2ωL4R)/(4(R+r)2)．
（2）如图所示；