（2013•包头）已知抛物线y=x2-3x-74的顶点为点D，并与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．（1）求点A、B、C、D的坐标；（2）在y轴的正半轴上是否存在点P，使以点P、O、A

Question

（2013•包头）已知抛物线y=x²-3x-(7)/(4)的顶点为点D，并与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）在y轴的正半轴上是否存在点P，使以点P、O、A为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）取点E（-(3)/(2)，0）和点F（0，-(3)/(4)），直线l经过E、F两点，点G是线段BD的中点．
①点G是否在直线l上，请说明理由；
②在抛物线上是否存在点M，使点M关于直线l的对称点在x轴上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）令y=0，则x²-3x-(7)/(4)=0，整理得，4x²-12x-7=0，
解得x₁=-(1)/(2)，x₂=(7)/(2)，
所以，A（-(1)/(2)，0），B（(7)/(2)，0），
令x=0，则y=-(7)/(4)，
所以，C（0，-(7)/(4)），
∵-(b)/(2a)=-(−3)/(2×1)=(3)/(2)，(4ac−b2)/(4a)=(4×1×(−(7)/(4))−(−3)2)/(4×1)=-4，
∴顶点D（(3)/(2)，-4）；

（2）在y轴正半轴上存在符合条件的点P，设点P的坐标为（0，y），
∵A（-(1)/(2)，0），C（0，-(7)/(4)），
∴OA=(1)/(2)，OC=(7)/(4)，OP=y，
①若OA和OA是对应边，则△AOP∽△AOC，
∴(OP)/(OC)=(OA)/(OA)，
y=OC=(7)/(4)，
此时点P（0，(7)/(4)），
②若OA和OC是对应边，则△POA∽△AOC，
∴(PO)/(OA)=(OA)/(OC)，
即(y)/((1)/(2))=((1)/(2))/(作业帮用户2017-11-10问题解析（1）令y=0，解关于x的一元二次方程求出A、B的坐标，令x=0求出点C的坐标，再根据顶点坐标公式计算即可求出顶点D的坐标；（2）根据点A、C的坐标求出OA、OC的长，再分OA和OA是对应边，OA和OC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出OP的长，从而得解；（3）①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式求出直线l的解析式，再利用中点公式求出点G的坐标，然后根据直线上点的坐标特征验证即可；②设抛物线的对称轴与x轴交点为H，求出OE、OF、HD、HB的长，然后求出△OEF和△HDB相似，根据相似三角形对应角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，从而得到直线l是线段BD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质点D关于直线l的对称点就是B，从而判断出点M就是直线DE与抛物线的交点，再设直线DE的解析式为y=mx+n，利用待定系数法求一次函数解析求出直线DE的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可得到符合条件的点M．名师点评本题考点：二次函数综合题．考点点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点的求解，求顶点坐标，待定系数法求一次函数解析式，点在直线上的验证，相似三角形的判定与性质，联立两函数解析式求交点坐标的方法，综合性较强，难度较大，（2）要根据对应边的不同分情况讨论，（3）求出直线l是线段BD的垂直平分线是解题的关键．扫描下载二维码©2018 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)