（2006•临汾）如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别相交x轴于点B、交y轴于点C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．（1）求A点的坐标；（2）求该抛物

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（2006•临汾）如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别相交x轴于点B、交y轴于点C，经过B、C两点的抛物线y=ax²+bx+c与x轴的

另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．
（1）求A点的坐标；
（2）求该抛物线的函数表达式；
（3）连接AC．请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

▼优质解答

答案和解析

（1）∵直线y=-x+3与x轴相交于点B，
∴当y=0时，x=3，
∴点B的坐标为（3，0）．
又∵抛物线过x轴上的A，B两点，且对称轴为x=2，
根据抛物线的对称性，
∴点A的坐标为（1，0）．

（2）∵y=-x+3过点C，易知C（0，3），
∴c=3．
又∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（1，0），B（3，0），
∴

a+b+3=0

9a+3b+3=0

解，得

a=1

b=-4

∴y=x²-4x+3．

（3）连接PB，由y=x²-4x+3=（x-2）²-1，得P（2，-1），
设抛物线的对称轴交x轴于点M，
∵在Rt△PBM中，PM=MB=1，
∴∠PBM=45°，PB=

．
由点B（3，0），C（0，3）易得OB=OC=3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45°，
由勾股定理，得BC=3

．
假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
①当

，∠PBQ=∠ABC=45°时，△PBQ∽△ABC．
即

，
∴BQ=3，
又∵BO=3，
∴点Q与点O重合，
∴Q₁的坐标是（0，0）．
②当

，∠QBP=∠ABC=45°时，△QBP∽△ABC．
即