设函数f（x）在闭区间[-1，1]上具有三阶连续导数，且f（-1）=0，f（1）=1，f′（0）=0，证明：在开区间（-1，1）内至少存在一点ξ，使f′′′（ξ）=3．

Question

设函数f（x）在闭区间[-1，1]上具有三阶连续导数，且f（-1）=0，f（1）=1，f′（0）=0，
证明：在开区间（-1，1）内至少存在一点ξ，使f′′′（ξ）=3．

Answer 1

方法一：
在x=0处，将函数f（x）按照泰勒公式展开，得：
f(x)=f(0)+f′(0)x+(1)/(2!)f″(0)x2+(1)/(3!)f″′(η)x3，其中η介于0与x之间，x∈[-1，1]，
由已知可得：
0=f(-1)=f(0)+(1)/(2)f″(0)-(1)/(6)f″′(η1)，(-1<η1<0)，…①
1=f(1)=f(0)+(1)/(2)f″(0)+(1)/(6)f″′(η2)，(0<η2<1)，…②
②-①得：
f″′（η₂）+f″′（η₁）=6，
由于：f（x）具有三阶连续导数，
从而：f″′（x）在闭区间[η₁，η₂]上连续，
故：f″′（x）在闭区间[η₁，η₂]上有最大值和最小值，
设最大值和最小值分别为M和m，
则：m≤(f″′(η1)+f″′(η2))/(2)≤M，
由闭区间上连续函数的介值定理，得：
至少存在一点ξ∈[η₁，η₂]⊂[-1，1]，使得：
f″′(ξ)=(f″′(η1)+f″′(η2))/(2)=3．
方法二：（应用三次罗尔定理）
作辅助函数：φ(x)=(1)/(2)x2(x+1)+(1+x)(1-x)f(0)，
则：φ（1）=f（1），φ（-1）=f（-1），φ（0）=f（0），φ′（0）=f′（0），
令：F（x）=f（x）-φ（x），
则：F（0）=F（1）=F（-1）=0，
易知F（x）满足罗尔定理，
从而，∃ξ₁∈（-1，0），∃ξ₂∈（0，1），使得：F′（ξ₁）=F′（ξ₂）=0，
而：F′（0）=0，
于是：F′（ξ₁）=F′（0）=F′（ξ₂）=0，
易知：F（x）也是具有三阶连续导数的．
从而对F′（x）应用罗尔定理得：∃η₁∈（ξ₁，0），η₂∈（0，ξ₂），使得：F″（η₁）=F″（η₂）=0，
又：在闭区间[η₁，η₂]上F″（x）满足罗尔定理的条件，
从而：∃ξ∈（η₁，η₂），使得：F′″（ξ）=0，
而：F′″（x）=f′″（x）-φ′″（x）且φ′″（x）=3，
∴f′″（ξ）=3．