怎么证(a+1/a)(b+1/b)大于等于25/4?错解：正解：(a-1)² ≧ 0 欲证原式成立,即证4（ab）²+（a²+b² ）-25ab+4≧0 a² -2a + 1 ≧ 0 即1/4≧ ab或ab≧ 8a² + 1 ≧ 2a 即证4（ab）²-33ab+8≧0a +

Question

怎么证(a+1/a)(b+1/b)大于等于25/4?
错解：正解：
(a-1)² ≧ 0 欲证原式成立,即证4（ab）²+（a²+b² ）-25ab+4≧0
a² -2a + 1 ≧ 0 即1/4≧ ab或ab≧ 8
a² + 1 ≧ 2a 即证4（ab）²-33ab+8≧0
a + 1/a ≧ 2 因为a＞0 b＞0,a+b=1
同理:b + 1/b ≧ 2 所以ab≧8不可能成立
(a+1/a)(b+1/b) ≧ 2*2 因为1=a+b≥2（ab）^1/2
(a+1/a)(b+1/b) ≧ 4 所以ab≤1/4,从而求证.
这道题我在网上查了查,发现大部分都是错解那样形式的,鄙人无能只能想到上面的这一种愚钝的方法,有没有那位高手能用比较巧妙的方法,
a,b属于正整数,且a+b=1是前提条件.

Answer 1

这样来算：
由于a+b=1所以把a=b-1带入式子化简一下,得到：
原式=[ (1-b)+1/(1-b) ] * (b+1/b)
= -b²+b-2+2/ [b*(1-b)]
分开设：y1= -b²+b-2
y2=2/ [b*(1-b)]
y1的最小值用抛物线的算法来算,在-1/2时候取到,是-4/7；
y2的最小值用不等式的算法来算,由于b*(b-1)≤(b+1-b)²/4=1/4(当且仅当在b=1/2时候取到)
所以 y2=2/ [b*(1-b)] ≥8
两个式子一综合,最大值都是在b=1/2时候取到,所以 ：原式≥-4/7+8=4/25 得证.