交换积分次序:∫(上限2a,下限0)dy∫(上限根号下(2ax),下限(-根号下2ax-x^2)f(x,y)dx

Question

交换积分次序:∫(上限2a,下限0)dy∫(上限根号下(2ax),下限 (-根号下2ax-x^2)f(x,y)dx

Answer 1

我觉得字母有误,
原题应该是：∫[0,2a]dx∫[-√(2ax-x^2),√(2ax)]f(x,y)dy,dx和dy是否前后反了?若是,
则积分区域是X轴下方是半圆,方程为(x-a)^2+y^2=a^2,圆心（a,0),X轴上半部是半条抛物线和x=2a所围成区域,x=2a和y=√（2ax)交点为（2a,2a)
对于半圆,当改变积分次序后,对于半圆,
a-√（a^2-y^2)≤x≤a+√（a^2-y^2),
-a≤y≤0,
对于上半部抛物线,y^2/2a≤x≤2a,
0≤y≤2a,
∴原式=∫[-a,0]dy∫[a-√（a^2-y^2),a+√（a^2-y^2)]f(x,y)dx+∫[0,2a]dy∫[-y^2/2a,2a]f(x,y)dx.