求解微分方程设y*=e^x是微分方程xy'+p(x)y=x的一个解,求此微分方程满足y=0,x=ln2的特解

Question

求解微分方程
设y*=e^x是微分方程xy'+p(x)y=x的一个解,求此微分方程满足y=0,x=ln2的特解

Answer 1

设y*=e^x是微分方程xy'+p(x)y=x的一个解,求此微分方程满足y=0,x=ln2的特解
因为y*=e^x是微分方程xy'+p(x)y=x的一个解,故y=e^x满足该方程,即有：
xe^x+p(x)e^x=x,故P(x)=x(1-e^x)/e^x=x(e^(-x)-1)；代入原方程得：
xy'+x[e^(-x)-1]y=x；消去x得y'-[1-e^(-x)]y=1.(1)
先求齐次方程y'-[1-e^(-x)]y=0的通
分离变量得dy/y=[1-e^(-x)]dx；积分之得lny=x-∫e^(-x)dx=x+∫e^(-x)d(-x)=x+e^(-x)+lnC₁；
故得y=e^[x+e^(-x)+lnC₁]=C₁e^[x+e^(-x)]；将C₁换成x的函数u,即有y=ue^[x+e^(-x)].(2)
将(2)对x取导数得dy/dx=e^[x+e^(-x)](du/dx)+ue^[x+e^(-x)][1-e^(-x)].(3)
将(2)和(3)代入(1)式得：
e^[x+e^(-x)](du/dx)+ue^[x+e^(-x)][1-e^(-x)]-[1-e^(-x)]ue^[x+e^(-x)]=1
消去同类项得e^[x+e^(-x)](du/dx)=1
分离变量得du={1/e^[x+e^(-x)]}dx；令e^(-x)=t,则-x=lnt,x=-lnt,dx=-dt/t；代入并取积分得：
u=∫(-dt/t)/e^(-lnt+t)=∫(-dt/t)/[(e^t)/t]=-∫dt/(e^t)=∫e^(-t)d(-t)=e^(-t)+C=e^[-e^(-x)]+C
代入(2)式即得通解y={e^[-e^(-x)]+C}e^[x+e^(-x)]=e^x+Ce^[x+e^(-x)].(4)
代入初始条件：x=ln2时y=0,得0=2+Ce^[ln2+1/2)=2+2Ce^(1/2),故C=-1/e^(1/2)
代入(4)式即得原方程的特解为y=e^x-[e^(-1/2)]e^[x+e^(-x)]=e^x{1-e^[-1/2+e^(-x)]}
此结果显然满足初始条件x=ln2时y=0.