已知函数f(x)=kx-(k+1)lnx-1x．（Ⅰ）当k=12时，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）求证：当0<k<1时，关于x的不等式f（x）>1在区间[1，e]上无解．（其中e=2.71828…）

Question

已知函数f(x)=kx-(k+1)lnx-(1)/(x)．
（Ⅰ）当k=(1)/(2)时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）求证：当0<k<1时，关于x的不等式f（x）>1在区间[1，e]上无解．（其中e=2.71828…）

Answer 1

（Ⅰ）因为f(x)=kx-(k+1)lnx-(1)/(x)，
所以f′(x)=k-(k+1)/(x)+(1)/(x2)=(kx2-(k+1)x+1)/(x2)，…．（1分）
当k=(1)/(2)时，f′(x)=((1)/(2)(x-2)(x-1))/(x2)．…．（2分）
令f′(x)=((1)/(2)(x-2)(x-1))/(x2)=0，得x₁=1，x₂=2，…．（3分）
所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

…．（6分）
所以f（x）在x=1处取得极大值f(1)=-(1)/(2)，
在x=2处取得极小值f(2)=(1)/(2)-(3)/(2)ln2．…．（7分）
函数f（x）的单调递增区间为（0，1），（2，+∞），f（x）的单调递减区间为（1，2）．…．（8分）
（Ⅱ）证明：不等式f（x）>1在区间[1，e]上无解，等价于f（x）≤1在区间[1，e]上恒成立，
即函数f（x）在区间[1，e]上的最大值小于等于1．
因为f′(x)=(k(x-(1)/(k))(x-1))/(x2)，
令f′（x）=0，得x1=(1)/(k)，x2=1．…．（9分）
因为0<k<1时，所以(1)/(k)>1．
当(1)/(k)≥e时，f'（x）≤0对x∈[1，e]成立，函数f（x）在区间[1，e]上单调递减，…．（10分）
所以函数f（x）在区间[1，e]上的最大值为f（1）=k-1<1，
所以不等式f（x）>1在区间[1，e]上无解；…．（11分）
当(1)/(k)<e时，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	(1，(1)/(k))	(1)/(k)	((1)/(k)，e)
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

所以函数f（x）在区间[1，e]上的最大值为f（1）或f（e）．…．（12分）
此时f（1）=k-1<1，f(e)=ke-(k+1)-(1)/(e)，
所以f(e)-1=ke-(k+1)-(1)/(e)-1=k(e-1)-2-(1)/(e)<(e-1)-2-

作业帮用户 2017-01-10

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