已知函数f（x）的导函数为f′（x），e为自然对数的底数，若函数f（x）满足xf′（x）+f（x）=lnxx，且f（e）=1e，则不等式f（x+1）-f（e+1）>x-e的解集是

Question

已知函数f（x）的导函数为f′（x），e为自然对数的底数，若函数f（x）满足xf′（x）+f（x）= (lnx)/(x)，且f（e）= (1)/(e)，则不等式f（x+1）-f（e+1）>x-e的解集是___．

Answer 1

∵xf´（x）+f（x）=(lnx)/(x)，
∴（xf（x））´=(lnx)/(x)，
两边积分xf（x）=(1)/(2)ln²x+C，
∴f（x）=(1)/(x)•（(1)/(2)ln²x+C），
∵f（e）=(1)/(e)，
∴f（e）=(1)/(e)（(1)/(2)+C）=(1)/(e)，
∴C=-(1)/(2)，
∴f（x）=(1)/(x)•（(1)/(2)ln²x+(1)/(2)），
令y=f（x）-x，则y′=(-(lnx+1)2)/(2x2)-1<0，
∴函数在定义域内单调递减，
∵f（x+1）-f（e+1）>x-e，
∴f（x+1）-（x+1）>f（e+1）-（e+1），
∴0<x+1<e+1，
∴-1<x<e，
故答案为：（-1，e）．