f(x)是域F上的首一不可约多项式,域的特征CharF=0,设E是包含F的代数封闭域,由于f(x)在域F上不可约,因此f(x)在F[X]中没有重因式.请说明一下为什么说由于域F的特征为0,因此f(x)在E[X]中也没有重因

Question

f(x)是域F上的首一不可约多项式,域的特征Char F = 0,设E是包含F的代数封闭域,由于f(x)在域F上不可约,
因此f(x)在F[X]中没有重因式.请说明一下为什么说由于域F的特征为0,因此f(x)在E[X]中也没有重因式.我对如何使用Char F = 0这个条件不是很理解

Answer 1

一般的《代数数论》的教科书上应该都能够找到.比如冯克勤、刘凤梅《代数数论简明讲义》第15页.
大致说明如下;
f(x)有重根 f与f'不互素（即有次数大于0的公因式）
f'为f的形式导数（这样可以避免引入极限的概念,省去很多讨论）.
当char F =0时,f不可约 => f'≠0 （f的次数至少为2,导函数不会恒为0）,
由于f不可约,deg f' 0,f(x)=∑c_i * x^i (i=0 ..n),则f'(x)=∑i*c_i * x^i (i=1 ..n),
当p不能整除i时,令c_i=0；p|i时,i=0；故总有i*c_i=0.即有f≠0,但f'=0.
具体例子如下：
设F=F_p=Z/(pZ),p=char F,u是F上的超越元,K=F(u)为F的单扩域（次数无穷大）,则f(x)=x^p-u∈K[x],取f(x)的一个根α=u^(1/p),（α当然不在F、K中,在K的代数封闭扩域中）,则f(x)=x^p-u=x^p-α^p=(x-α)^p有p重根α,（在F_p的扩域上有(a+b)^p=a^p+b^p）,但是f(x)在K[x]上不可约.
（若f(x)在K[x]上可约,即f(x)=g(x)*h(x),g(x)、h(x)∈K[x],设g(x)=(x-α)^l,h(x)=(x-α)^s,1≤l,s≤p-1,l+s=p.但是g(x)的常数项为(-α)^l=(-1)^l*α^l=(-1)^l*u^(l/p),1≤l≤p-1,l/p不是整数,由K的定义,u^(l/p)不在K中,于是g(x)不在K[x]中,这与g(x)∈K[x]矛盾）