如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=22．（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面APC；（Ⅱ）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（Ⅲ）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的大小为π6，求BM的最小

Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=2√(2)．
（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面APC；
（Ⅱ）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（Ⅲ）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的大小为(π)/(6)，求BM的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）取AC中点O，∵AP=BP，∴OP⊥OC，
由已知得三角形ABC为直角三角形，
∴OA=OB=OC，△POA≌△POB≌△POC，
∴OP⊥OB，∴OP⊥平面ABC，
∵OP在平面PAC中，∴平面ABC⊥平面APC．…（4分）
（Ⅱ）以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．
由已知得O（0，0，0），B（2，0，0），A（0，-2，0），
C（0，2，0），P（0，0，2√(3)），…（5分）
∴

BC

＝(−2，2，0)，

PB

＝(2，0，−2√(3))，

AP

＝(0，2，2√(3))，
设平面PBC的法向量

n

＝(x，y，z)，
由

BC

•

作业帮用户 2017-10-21

问题解析

（Ⅰ）取AC中点O，由已知得三角形ABC为直角三角形，△POA≌△POB≌△POC，由此能证明平面ABC⊥平面APC．
（Ⅱ）以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值．
（Ⅲ）求出平面PAC的法向量和平面PAM的法向量，利用向量法能求出BM的最小值．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角．

考点点评：

本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查线段的最小值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．

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