（2014•浙江模拟）如图，四棱锥P-ABCD，侧面PAD⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，△PAD为正三角形，DA⊥AB，CB⊥AB，AB=AD=1，BC=2，E为BC的中点，M为侧棱PB上一点．（Ⅰ）求二面角P-BD-A的余弦值；（Ⅱ

Question

（2014•浙江模拟）如图，四棱锥P-ABCD，侧面PAD⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，△PAD为正三角形，DA⊥AB，CB⊥AB，AB=AD=1，BC=2，E为BC的中点，M为侧棱PB上一点．
（Ⅰ）求二面角P-BD-A的余弦值；
（Ⅱ）是否存在点M使平面MAE⊥平面PBD？若存在，求出(PM)/(MB)的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）连结DE，设BD与AE交于O，
由已知四边形ABED为正方形，
取AD中点F，∵PAD为正三角形，∴PF⊥AD，
∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PF=⊥底面ABCD，
取DO中点G，则FG⊥BD于G，连结PG，则PG⊥BD，
∴∠PGF为二面角P-BD-A的平面角，
PF=(√(3))/(2)，FG=(1)/(2)AO＝(√(2))/(4)，
在Rt△PFG中，tan∠PGF=(PF)/(FG)=((√(3))/(2))/((√(2))/(4))=√(6)，
∴cos∠PGF=(√(7))/(7)．
∴二面角P-BD-A的余弦值为

作业帮用户 2017-10-24

问题解析

（Ⅰ）连结DE，设BD与AE交于O，四边形ABED为正方形，取AD中点F，取DO中点G，则FG⊥BD于G，连结PG，则PG⊥BD，∠PGF为二面角P-BD-A的平面角，由此能求出二面角P-BD-A的余弦值．
（Ⅱ）要使平面MAE⊥平面PBD，只要BD⊥平面MAE，由AE⊥BD，知只需BD⊥GM，由此能求出满足条件的点M存在，且(PM)/(MB)=(1)/(2)．

名师点评

本题考点：

平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．

考点点评：

本题考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

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