如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30°，物体以速率v绕圆锥体轴线做水平匀速圆周运

Question

如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30°，物体以速率v绕圆锥体轴线做水平匀速圆周运动：

（1）当v₁=√((gL)/(6))时，求绳对物体的拉力；
（2）当v₂=√((3gL)/(2))时，求绳对物体的拉力．

Answer 1

临界条件为圆锥体对小球的支持力 F_N=0  ①
由牛顿第二定律可列出方程：
  F_n=(mv2)/(r)=(mv20)/(Lsin30°)
又 F_n=mgtan30°  ②
解得：v₀=√((√(3)gL)/(6)) ③
（1）因v₁＜v₀，F_N≠0，对小球进行受力分析，根据牛顿第二定律
  Fsinθ-F_Ncosθ=(mv21)/(Lsinθ)  ④
  Fcosθ+F_Nsinθ-mg=0  ⑤
解得：F=((1+3√(3))mg)/(6)  ⑥
（2）因v₂＞v₀，物体离开斜面，对小球受力分析如图所示，设绳与竖直方向的夹角为α．
由牛顿第二定律得
  Fsinα=(mv22)/(Lsinα)  ⑦
  Fcosα-mg=0  ⑧
解得：F=2mg  ⑨
答：（1）当v₁=√((gL)/(6))时，绳对物体的拉力为((1+3√(3))mg)/(6)；（2）当v₂=√((3gL)/(2))时，绳对物体的拉力为2mg．