一个三棱台ABC-A1B1C1,上、下底面面积为a,b,现在该三棱柱高的三等分点做两个与底面平行的!三角形,求面积各为多少

Question

一个三棱台ABC-A1B1C1,上、下底面面积为a,b,现在该三棱柱高的三等分点做两个与底面平行的!三角形,求面积各为多少

Answer 1

延长侧棱交于P,作PO⊥下底面ABC于O,交上底面A1B1C1于O1,
设OD=DE=EO1,过D、E平行于底面的截面面积分别为S1,S2,
由棱锥性质,a/b=(PO1/PO)^2,
∴PO1/PO=√a/√b,
设PO1=k√a,则PO=k√b,
OO1=PO-PO1=k(√b-√a）,
∴OD=DE=EO1=k(√b-√a)/3,
∴PD=PO1+(2/3)OO1=k√a+(2k/3)(√b-√a)=k(√a+2√b)/3,
PE=k(2√a+√b)/3,
∴S1/a=(PD/PO1)^2=[(√a+2√b)/(3√a)]^2=[a+4√(ab)+4b]/(9a),
∴S1=[a+4√(ab)+4b]/9,
同理,S2=[4a+4√(ab)+b]/9.