如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，1）关于x轴的对称点为C，AC与x轴交于点B，将△OCB沿OC翻折后，点B落在点D处．（1）求点C、D的坐标；（2）求经过O、D、B三点的抛物线的解析式；（3）

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（√(3)，1）关于x轴的对称点为C，AC与x轴交于点B，将△OCB沿OC翻折后，点B落在点D处．
（1）求点C、D的坐标；
（2）求经过O、D、B三点的抛物线的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与OC交于点E，点P为线段OC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q．
①当四边形EDQP为等腰梯形时，求出点P的坐标；
②当四边形EDQP为平行四边形时，直接写出点P的坐标．

Answer 1

（1）∵点A（√(3)，1）关于x轴的对称点为C，AC与x轴交于点B，
∴AC⊥x轴于B，B（√(3)，0），C（√(3)，-1）．
∴BC=AB=1，OB=√(3)．
∴OC=2，∠1=30°，∠3=60°，
由题意知：∠2=∠1=30°，OD=OB=√(3)，
∴∠NOD=30°．
过点D作DM⊥x轴于M，DN⊥y轴于N，
在Rt△OND中，DN=(1)/(2)OD=(√(3))/(2)，ON=√(3)DN=(3)/(2)．
由矩形ONDM得：OM=DN=(√(3))/(2)．
∵点D在第四象限，
∴D（(√(3))/(2)，-(3)/(2)）．

（2）设经过O、D、B三点的抛物线的解析式为：y=ax²+bx．
依题意，得：

(3)/(4)a+(√(3))/(2)b＝−(3)/(2)

3a+√(3)b＝0

，
解得

a＝2

b＝−2√(3)

；
∴此抛物线的解析式为：y=2x²-2√(3)x．

（3）∵y=2x²-2√(3)x=2（x-(√(3))/(2)）²-(3)/(2)，
∴点D为抛物线的顶点．
∴直线DM为抛物线的对称轴，交OC于E，由题意可知：∠4=∠3=60°，∠ODC=90°；
∴∠OEM=60°，
∴∠6=60°，
∴∠7=60°，
∴△EDC是等边三角形，∠8=30°．
∴CE=DE=OE=(1)/(2)OC=1．
①当点P₁在EC上时，四边形EDQ₁P₁为等腰梯形．
∵DM∥y∥P₁Q₁，EP₁与DQ₁不平行，
∴四边形EDQ₁P₁为梯形．
要使梯形EDQ₁P₁为等腰梯形，只需满足∠EDQ₁=∠6=60°．
∵∠7=60°，
∴点Q₁在DC上．
由C（√(3)，-1）、D（(√(3))/(2)，-(3)/(2)）求得直线CD的解析式为y=(√(3))/(3)x-2．
又∵点Q₁在抛物线上，
∴2x²-2√(3)x=(√(3))/(3)x-2，
解得x₁=(2√(3))/(3)，x₂=(√(3))/(2)（与点D重合，舍去）；
∴点P₁的横坐标为(2√(3))/(3)．
由（0，0）、C（√(3)，-1）求得直线OC的解析式为y=-(√(3))/(3)x．
∵点P₁在OC上，
∴y=-(√(3))/(3)×(2√(3))/(3)=-(2)/(3)，
即P₁（(2√(3))/(3)，-(2)/(3)）．
②当点P₂在OE上时，四边形EDQ₂P₂为平行四边形，此时P₂点坐标为P₂（(√(3))/(3)，-(1)/(3)）．
综上所述：当P₁（(2√(3))/(3)，-(2)/(3)）时，EDQ₁P₁为等腰梯形；
当P₂（(√(3))/(3)，-(1)/(3)）时，EDQ₂P₂为平行四边形．