在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,角BCD=90°,AB//CD,又AB=BC=PC=1,PB=√2,CD=2,AB垂直PC1、求证PC垂直平面ABCD2、求PA与平面ABCD所成角的大小3、求二面角B-PD-C的大小

Question

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,角BCD=90°,AB//CD,又AB=BC=PC=1,PB=√2,CD=2,AB垂直PC
1、求证PC垂直平面ABCD
2、求PA与平面ABCD所成角的大小
3、求二面角B-PD-C的大小

Answer 1

1.∵AB垂直PC AB//CD∴PC⊥CD ∵BC=PC=1 PB=√2 则BC²+PC²=PB² △PCB为直角△
∴PC⊥CB ∵CD和CB是平面ABCD中两条相交直线 ∴PC垂直平面ABCD
2.连接AC,则PC⊥AC PA=√(AB²+BC²+PC²)=√(1²+1²+1²)=√3 sin∠PAC=1/√3 =√3/3
3.连接BD,BD是△BCD的斜边=√5 PD是△PCD的斜边=√5 △PBD为等腰△
取CD的中点E向PD做垂线交F点,EF=√5/5,FD=2√5/5,在△PBD平面中做GF⊥PD交PD于G
余弦定理2=5+5-10cos∠PDB cos∠PDB=4/5 FG=3√5/10 DG=√5/2 △BDC中cos∠BDC=2√5/5
连接EG,EG²=DG²+CE²-2DG*CEcos∠BDC=5/4+1-√5*2√5/5=1/4 EG=1/2
在△EFG中,EF=√5/5,FG=3√5/10 ,EG=1/2,∠EFG为二面角B-PD-C 余弦值=2/3