（2009•朝阳区一模）如图，直三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱AA′=4，底面三角形ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是AB的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥AB′；（Ⅱ）求二面角A′-AB′-C的大小．

Question

（2009•朝阳区一模）如图，直三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱AA′=4，底面三角形ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥AB′；
（Ⅱ）求二面角A′-AB′-C的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为AC=BC，D是AB的中点，所以CD⊥AB．
由已知，三棱柱ABC-A′B′C′是直三棱柱，
所以平面ABC⊥平面ABB′A′．
所以CD⊥平面ABB′A′．
又因为AB′⊂平面ABB′A′，
所以CD⊥AB′．（6分）
（Ⅱ）由（1）知CD⊥平面ABB′A′．
过D作DE⊥AB′，垂足为E，连接CE．
由三垂线定理可知CE⊥AB′，
所以∠CED是二面角B-AB'-C的平面角．
由已知可求得CD＝√(2)，DE＝(2)/(√(3))，
所以tan∠CED＝(CD)/(DE)＝(√(6))/(2)．
所以二面角B-AB′-C的大小为arctan(√(6))/(2)．
由于二面角A′-AB′-C与二面角B-AB′-C的大小互补，
所以二面角A′-AB′-C的大小为π−arctan(√(6))/(2)．（13分）