已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点．（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；（Ⅱ）求二面角M-BC′-B′的大小；（Ⅲ）求三棱锥M-OBC的

Question

已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点．

（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；
（Ⅱ）求二面角M-BC′-B′的大小；
（Ⅲ）求三棱锥M-OBC的体积．

Answer 1

（Ⅰ）连接AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连接OK
因为M是棱AA′的中点，点O是BD′的中点
所以AM

∥

.

.

(1)/(2)DD′

∥

.

.

OK
所以MO

∥

.

.

AK
由AA′⊥AK，得MO⊥AA′
因为AK⊥BD，AK⊥BB′，所以AK⊥平面BDD′B′
所以AK⊥BD′
所以MO⊥BD′
又因为OM是异面直线AA′和BD′都相交
故OM为异面直线AA′和BD′的公垂线
（Ⅱ）取BB′中点N，连接MN，则MN⊥平面BCC′B′
过点N作NH⊥BC′于H，连接MH
则由三垂线定理得BC’⊥MH
从而，∠MHN为二面角M-BC′-B′的平面角
MN=1，NH=BNsin45°=(1)/(2)•(√(2))/(2)=(√(2))/(4)
在Rt△MNH中，tan∠MHN=(MN)/(NH)=(1)/((√(2))/(4))=2√(2)
故二面角M-BC′-B′的大小为arctan2√(2)
（Ⅲ）易知，S_△OBC=S_△OA’D’，且△OBC和△OA′D′都在平面BCD′A′内
点O到平面MA′D′距离h=(1)/(2)
V_M-OBC=V_M-OA’D’=V_O-MA’D’=(1)/(3)S_△MA’D’h=(1)/(24)