如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．（1）证明：EF∥平面SAD；（2）设SD=2DC，求BD与面SBC所成的角的正弦值．

Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．
（1）证明：EF∥平面SAD；
（2）设SD=2DC，求BD与面SBC所成的角的正弦值．

Answer 1

（1）证明：作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．

连接AG，则FG

∥

.

.

(1)/(2)CD，又CD

∥

.

.

AB，故FG

∥

.

.

AE
∴AEFG为平行四边形，∴EF∥AG，
又AG⊂平面SAD，EF⊄平面SAD．
∴EF∥平面SAD．
（2）不妨设DC=2，则SD=4，过D作SC的垂线于交SC于H连接BH，则∠DBH即为DB与面SBC所成的角．
DH=(DC•SD)/(SC)＝(2×4)/(2√(5))，BD=2√(2)，
所以sin∠DBH＝(DH)/(DB)=(4)/(√(5))•(1)/(2√(2))＝(√(10))/(5)．