如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为等

Question

如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x．
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为等腰三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC是否可能为直角三角形？若可能求出此时x的值，不可能请说明理由．

Answer 1

（1）∵MN=4，MA=1，AB=x，
∴BN=4-1-x=3-x，
∵MB＞1，
∴3-x＞1，解得x＜2，
∵以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，
∴AC=AM=1，BC=BN=3-x，
∵1+x＞3-x，解得x＞1，
∴x的取值范围为1＜x＜2；
（2）∵1＜x＜2；
∴△ABC为等腰三角形时，AB=BC，即x=3-x，
∴x=(2)/(3)；
（3）∵1＜x＜2，
∴AC不能为斜边，
当AC²+BC²=AB²，即AB为斜边时，
∴1²+（3-x）²=x²，解得x=(5)/(3)；
当BC为斜边时，即AC²+AB²=BC²，
∴1²+x²=（3-x）²，解得x=(4)/(3)，
∴当x=(5)/(3)或(4)/(3)时，△ABC为直角三角形．