（2014•南开区二模）如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x．（Ⅰ）求x的取值范

Question

（2014•南开区二模）如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x．
（Ⅰ）求x的取值范围为______；
（Ⅱ）ABC的最大面积为

(√(2))/(2)

(√(2))/(2)

．

Answer 1

（Ⅰ）∵MN=4，MA=1，AB=x，
∴BN=4-1-x=3-x，
由旋转的性质得，MA=AC=1，BN=BC=3-x，
由三角形的三边关系得

3−x−1＜x①

3−x+1＞x②

，
解不等式①得，x＞1，
解不等式②得，x＜2，
所以，x的取值范围是1＜x＜2；

（Ⅱ）如图，过点C作CD⊥AB于D，设CD=h，
由勾股定理得，AD=√(AC2−CD2)=√(1−h2)，
BD=√(BC2−CD2)=√((3−x)2−h2)，
∵BD=AB-AD，
∴√((3−x)2−h2)=x-√(1−h2)，
两边平方并整理得，x√(1−h2)=3x-4，
两边平方整理得，h²=-(8(x2−3x+2))/(x2)，
△ABC的面积S²=（(1)/(2)xh）²=-(1)/(4)×8（x²-3x+2）=-2（x-(3)/(2)）²+(1)/(2)，
所以，当x=(3)/(2)时，△ABC的最大面积的平方为(1)/(2)，
△ABC的最大面积为(√(2))/(2)．
故答案为：（Ⅰ）1＜x＜2；（Ⅱ）(√(2))/(2)．