如图，三棱柱ABC-DEF中，侧面ABED是边长为2的菱形，且∠ABE=π3，BC=212，点F在平面ABED内的正投影为G，且G在AE上，FG=3，点M在线段CF上，且CM=14CF．（1）证明：直线GM∥平面DEF；（2）求三棱锥M-DEF

Question

如图，三棱柱ABC-DEF中，侧面ABED是边长为2的菱形，且∠ABE=(π)/(3)，BC=(√(21))/(2)，点F在平面ABED内的正投影为G，且G在AE上，FG=√(3)，点M在线段CF上，且CM=(1)/(4)CF．

（1）证明：直线GM∥平面DEF；
（2）求三棱锥M-DEF的体积．

Answer 1

（1）证明：如图，∵面ABED是边长为2的菱形，且∠ABE=(π)/(3)，
∴△ABE为正三角形，且AE=2，
∵FG⊥GE，FG=√(3)，EF=BC=(√(21))/(2)，
∴EG=(3)/(2)，则AG：HG=1：3，过G作SH∥AD，
交AB于S，交DE于H，
则SG：GH=1：3，
连接CS、FH，∵CM=(1)/(4)CF，∴CM：MF=1：3，
∴MG∥FH，又FH⊂平面DEF，MG⊄平面DEF，
∴直线GM∥平面DEF；
（2） 设过MG且平行于平面DEF的平面交三棱柱于MNK，
得三棱柱DEF-MNK，可得VM-DEF=(1)/(3)VDEF-KMN=V_M-NEK，
∵NK=2，NE=(3)/(4)BE=(3)/(2)，∴S△NEK=(1)/(2)×2×(3)/(2)×sin(π)/(3)=(3√(3))/(4)．
则VM-NEK=(1)/(3)×(3√(3))/(4)×√(3)=(3)/(4)．