三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1与AC、AB所成角均为60°，∠BAC=90°，且AB=AC=AA1，则A1B与AC1所成角的正弦值为（）A.1B.13C.33D.63

Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁与AC、AB所成角均为60°，∠BAC=90°，且AB=AC=AA₁，则A₁B与AC₁所成角的正弦值为（　　）

A. 1

B.

(1)/(3)

C.

(√(3))/(3)

D.

(√(6))/(3)

Answer 1

连结A₁C，交AC₁于点E，取BC的中点D，连结AD、DE，
∵四边形AA₁C₁C是平行四边形，∴E是A₁C的中点
∵D是BC的中点，∴DE是△A₁BC的中位线，可得DE

∥

.

(1)/(2)A₁B，
因此，∠AED（或其补角）就是异面直线A₁B与AC₁所成的角．
设AB=AC=AA₁=2，
∵∠A₁AB=60°，∴△A₁AB是等边三角形，可得A₁B=2，
得DE=(1)/(2)A₁B=1．
同理，等边△A₁AC中，中线AE=(√(3))/(2)A₁A=√(3)，
又∵∠BAC=90°，AB=AC=2，D为BC中点，
∴AD=(1)/(2)BC=(1)/(2)√(AB2+AC2)=√(2)，
由此可得△ADE中，cos∠AED=(AE2+DE2-AD2)/(2AE•ED)=(3+1-2)/(2×√(3)×1)=(√(3))/(3)．
即异面直线A₁B与AC₁所成角的余弦值为(√(3))/(3)．
故选：C．