以坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴，且两个坐标系取相等长度单位．已知直线l的参数方程为x=tcosφy=2+tsinφ（t为参数，0≤φ<π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=8sinθ．（1）求直线l的普

Question

以坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴，且两个坐标系取相等长度单位．已知直线l的参数方程为

x=tcosφ

y=2+tsinφ

（t为参数，0≤φ<π），曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=8sinθ．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当φ变化时，求|AB|的最小值．

Answer 1

（1）由

x=tcosφ

y=2+tsinφ

消去t得xsinφ-ycosφ+2cosφ=0，
所以直线l的普通方程为xsinφ-ycosφ+2cosφ=0．
由ρcos²φ=8sinθ，得（ρcosθ）²=8ρsinθ，
把x=ρcosφ，y=ρsinφ代入上式，得x²=8y，
所以曲线C的直角坐标方程为x²=8y．
（2）将直线l的参数方程代入x²=8y，得t²cos²φ-8tsinφ-16=0，
设A、B两点对应的参数分别为t₁，t₂，
则t1+t2=(8sinφ)/(cos2φ)，t1t2=-(16)/(cos2φ)，
所以|AB|=|t1-t2|=√((t1+t2)2-4t1t2)=√((64sin2φ)/(cos4φ)+(64)/(cos2φ))=(8)/(cos2φ)．
当φ=0时，|AB|的最小值为8．