曲线方程y=a(1-x^2)中（a>0）a为何值时,此曲线与(-1,0)(1,0)两点之间的曲线段与该两点法线所围成的面积最小?在线等!过程越详细越好!谢了!

Question

曲线方程y=a(1-x^2)中（a>0）a为何值时,此曲线与(-1,0)(1,0)两点之间的曲线段与该两点法线所围成的面积最小?
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Answer 1

y' = -2ax
x = -1,y' = 2a,法线斜率 -1/(2a),法线方程 y = -(x + 1)/(2a)
x = 1,y' = -2a,法线斜率 1/(2a),法线方程 y = (x - 1)/(2a)
联立得交点为原点
面积为两部分,-1到0,和0到1
前者被积函数为a(1 - x²) + (x + 1)/(2a),后者被积函数为a(1 - x²) - (x - 1)/(2a)
S = ∫⁰₋₁[a(1 - x²) + (x + 1)/(2a)]dx + ∫¹₀[a(1 - x²) - (x - 1)/(2a)]dx
= ∫⁰₋₁[a + 1/(2a) + x/(2a) - ax²)]dx + ∫¹₀[a + 1/(2a) - x/(2a) - ax²)]dx
= [a + 1/(2a)]x + x²/(4a) - ax³/3|⁰₋₁ + [a + 1/(2a)]x - x²/(4a) - ax³/3|¹₀
= 0 - [-a - 1/(2a) + 1/(4a) + a/3] + [a + 1/(2a) - 1/(4a) - a/3] - 0
= 2a/3 + 1/(4a) + 2a/3 + 1/(4a)
= 4a/3 + 1/(2a)
4a/3 = 1/(2a),a = √6/4时,S最小