已知抛物线y2=2px的准线经过点（-1，1），（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）已知过抛物线焦点的直线交抛物线于A，B两点，且|AB|长为5，求直线AB的方程．

Question

已知抛物线y²=2px的准线经过点（-1，1），
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）已知过抛物线焦点的直线交抛物线于A，B两点，且|AB|长为5，求直线AB的方程．

Answer 1

（Ⅰ）根据题意可知抛物线y²=2px的准线方程为x=-1，
则-(p)/(2)=-1，p=2，…（2分）
∴抛物线的方程为y²=4x； …（4分）
（Ⅱ）当过焦点的直线斜率不存在时，|AB|=4，不合题意； …（5分）
故可设直线AB方程为y=k（x-1）（k≠0），A

x1，y1

，B

x2，y2

，…（6分）
由

y2=4x

y=k(x-1)

得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，…（7分）
则x1+x2=(2k2+4)/(k2)，…（8分）
由抛物线的定义可知，|AB|=x₁+x₂+p，∴5=(2k2+4)/(k2)+2，…（10分）
解得k=±2，∴所求直线方程为2x-y-2=0或2x+y-2=0．…（12分）