已知抛物线y=（x-m）2-（x-m），其中m是常数．（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x=52．①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿

Question

已知抛物线y=（x-m）²-（x-m），其中m是常数．
（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线x=(5)/(2)．
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．

Answer 1

（1）证明：y=（x-m）²-（x-m）=x²-（2m+1）x+m²+m，
∵△=（2m+1）²-4（m²+m）=1>0，
∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2） ①∵x=-(-(2m+1))/(2)=(5)/(2)，
∴m=2，
∴抛物线解析式为y=x²-5x+6；
②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y=x²-5x+6+k，
∵抛物线y=x²-5x+6+k与x轴只有一个公共点，
∴△=5²-4（6+k）=0，
∴k=(1)/(4)，
即把该抛物线沿y轴向上平移(1)/(4)个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．