椭圆C的中心为原点O,短轴端分别为B1,B2,右焦点为F（√3,0）,如果三角形B1FB2为正三角形,1求椭圆C的标准方程.2过椭圆C内一点R（0,1/2）作直线L交椭圆C于M,N两点,求MN的中点P的轨迹方程

Question

椭圆C的中心为原点O,短轴端分别为B1,B2,右焦点为F（√3,0）,如果三角形B1FB2为正三角形,
1求椭圆C的标准方程.2过椭圆C内一点R（0,1/2）作直线L交椭圆C于M,N两点,求MN的中点P的轨迹方程

Answer 1

1.由已知得,半焦距c=√3,短半轴长b=√3/2,则长半轴长a=√15/2,则椭圆C的标准方程为：
x^2/(15/4)+y^2/(3/4)=1
2.设直线L方程为：y=kx+1/2,与椭圆交点坐标为M（x1,y1）N(x2,y2),P(x,y),
则x=1/2*(x1+x2),y=1/2*(y1+y2)
直线y=kx+1/2代入椭圆x^2/(15/4)+y^2/(3/4)=1得：x^2/(15/4)+( kx+1/2)^2/(3/4)=1,
(5*k^2+1)x^2+5*k*x-5/2=0,则x1+x2=-5*k/(5*k^2+1)
直线y=kx+1/2变为x=(y-1/2)/k,代入椭圆x^2/(15/4)+y^2/(3/4)=1得：
[(y-1/2)/k] ^2/(15/4)+y^2/(3/4)=1,(5*k^2+1)y^2-y-(15k^2-1)/4=0,则y1+y2=1/(5*k^2+1)
P的轨迹的参数方程：x=-5/2*k/(5*k^2+1),y=1/2/(5*k^2+1)
消去参数k得：x^2/(5/16)+(y-1/4)^2/（1/16）=1,这个轨迹是个椭圆.