请帮忙证明一个椭圆公式有椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1,过圆心O(0,0)作直线交椭圆C于A和B,点P在椭圆C上,求证：PA与PB的斜率的乘积为-b^2/a^2还有啊,是不是所有的圆锥曲线都有这个规律?

Answer 1

好方法
设、A（m,n）,B（-m,-n）.再设:P(p,q),
Kpa=(n-q)/(m-p),Kpb=(q+n)/(p+m)
∵m＾2/a＾2+n＾2/b＾2=1,…………(1)
p＾2/a＾2+q＾2/b＾2=1,…………(2)
∴(1)-(2)得
∴[(m-p)(m+p)]/a＾2+[(n-q)(n+q)]/b＾2=0
∴[(n-q)(n+q)]/[(m-p)(m+p)]=-b^2/a^2
又∵Kpa*Kpb=[(n-q)/(m-p)]*[(q+n)/(p+m)]
=[(n-q)(n+q)]/[(m-p)(m+p)]
∴Kpa*Kpb=-b^2/a^2
∴PA与PB的斜率的乘积为 -b^2/a^2 .
不是所有的圆锥曲线都有这个规律,椭圆（包括圆）及双曲线可以、而抛物线不行.