已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的短轴长为6，其离心率为74．若l1，l2是椭圆C的两条相互垂直的切线，l1，l2的交点为点P．（1）求椭圆C的方程；（2）记点P的轨迹为C′，设l1，l2与轨迹C′的

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的短轴长为6，其离心率为(√(7))/(4)．若l₁，l₂是椭圆C的两条相互垂直的切线，l₁，l₂的交点为点P．
（1）求椭圆C的方程；
（2）记点P的轨迹为C′，设l₁，l₂与轨迹C′的异于点P的另一个交点分别为M，N，求△PMN的面积的取值范围．

Answer 1

（1）因为椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的短轴长为6，
所以2b=6，所以b=3，
因为离心率为(√(7))/(4)，所以1-(9)/(a2)=(7)/(16)，
所以a=4，
所以椭圆C的方程为(x2)/(16)+(y2)/(9)＝1．…（5分）
（2）①若直线l₁的斜率存在且不为零时，设为k，设P（x₀，y₀），则直线l₁的方程为y-y₀=k（x-x₀）．
即y=kx+y₀-kx₀，令m=y₀-kx₀．
代入椭圆方程可得（16k²+9）x²+32kmx+16m²-144=0．
直线l₁是椭圆的切线，所以△=0，所以m²=16k²+9，
坐标原点O到直线l₁的距离d₁=(|m|)/(√(1+k2))，所以d₁²=(16k2+9)/(1+k2)．
设坐标原点O到直线l₁的距离为d₂，同理可得d₂²=(9k2+16)/(1+k2)．
所以|OP|²=d₁²+d₂²=25．
②若直线l₁的斜率不存在或为零时，容易验证|OP|²=d₁²+d₂²=25，
所以P的轨迹C′是圆x²+y²=25…（10分）
S_△PMN=(1)/(2)|PM||PN|=2d₁d₂．
若直线l₁的斜率存在且不为零时，d₁²=(16k2+9)/(1+k2)，则d₁∈（3，4）；若直线l₁的斜率为零，则d₁=3；
若直线l₁的斜率不存在，则d₁=4．所以d₁∈[3，4]．
S_△PMN=(1)/(2)|PM||PN|=2d₁d₂=2√(d12(25−d12))，
令t=d12，则t∈[9，16]．所以S_△PMN=2√(t(25−t))∈[24，25]．
所以△PMN的面积的取值范围为[24，25]．…（13分）