设离心率e＝12的椭圆M：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是x轴正半轴上一点，以PF1为直径的圆经过椭圆M短轴端点，且该圆和直线x+3y+3＝0相切，过点P直线椭圆M相交于相异两点A

Question

设离心率e＝(1)/(2)的椭圆M：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是x轴正半轴上一点，以PF₁为直径的圆经过椭圆M短轴端点，且该圆和直线x+√(3)y+3＝0相切，过点P直线椭圆M相交于相异两点A、C．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若相异两点A、B关于x轴对称，直线BC交x轴与点Q，求Q点坐标．

Answer 1

（Ⅰ）设以PF₁为直径的圆经过椭圆M短轴端点N，
∴|NF₁|=a，∠PNF₁=(π)/(2)，∵e＝(1)/(2)，∴a=2c，
∴∠NF1P＝(π)/(3)，|F₁P|=2a．
∴F₂（c，0）是以PF₁为直径的圆的圆心，
∵该圆和直线x+√(3)y+3＝0相切，
∴2c＝(|c+3|)/(√(1+(√(3))2))，
∴c＝1，a＝2，b＝√(3)，
∴椭圆M的方程为：(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1．
（Ⅱ）设点A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则点B（x₁，-y₁），
设直线PA的方程为y=k（x-3），联立方程组

(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1

y＝k(x−3).

，
化简整理得（4k²+3）x²-24k²x+36k²-12=0，
由△=（24k²）²-4•（3+4k²）•（36k²-12）＞0得k2＜(3)/(5)．
则x1+x2＝(24k2)/(4k2+3)，x1x2＝(36k2−12)/(4k2+3)．
直线BC的方程为：y+y1＝(y2+y1)/(x2−x1)(x−x1)，
令y=0，则x＝(y1x2+y2x1)/(y1+y2)＝(2x1x2−3(x1+x2))/(x1+x2−6)＝((72k2−24)/(4k2+3)−(72k2)/(4k2+3))/((24k2)/(4k2+3)−6)＝(4)/(3)，
∴Q点坐标为((4)/(3)，0)．