如图，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，tanA=12，点P在AB边上，P的半径为定长．当点P与点B重合时，P恰好与AC边相切；当点P与点B不重合时，P与AC边相交于点M和点N．（1）求P的半径；（2）当AP=65

Question

如图，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，tanA=(1)/(2)，点P在AB边上， P的半径为定长．当点P与点B重合时， P恰好与AC边相切；当点P与点B不重合时， P与AC边相交于点M和点N．

（1）求 P的半径；
（2）当AP=6√(5)时，试探究△APM与△PCN是否相似，并说明理由．

Answer 1

（1）作BD⊥AC，垂足为点D．
∵ P与边AC相切，
∴BD就是 P的半径，
设BD=x，则AD=2x，
由勾股定理得：x²+（2x）²=15²，
解得：x=3√(5)，
∴半径为3√(5)；

（2）相似；
过点P作PH⊥AC于点H，
求得PH=6，MH=3，AH=12，
∴AM=9，
∴CN=5，
∴(AM)/(MP)=(PN)/(NC)=(3)/(√(5))，
又∵PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM，
∴∠AMP=∠PNC，
∴△AMP∽△PNC．