如图，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，cotA=2，P是边AB上的一个动点，⊙P的半径为定长．当点P与点B重合时，⊙P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且⊙P与边AC相交于点M和点N时，设AP=x，MN=y．（

Question

如图，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，cotA=2，P是边AB上的一个动点，⊙P的半径为定长．当点P与点B重合时，⊙P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且⊙P与边AC相交于点M和点N时，设AP=x，MN=y．
（1）求⊙P的半径；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当AP=6√(5)时，试比较∠CPN与∠A的大小，并说明理由．

Answer 1

（1）作BD⊥AC，垂足为点D
∵⊙P与边AC相切，
∴BD就是⊙P的半径．
∵cotA=2，
∴sinA＝(√(5))/(5)．（1分）
又∵sinA＝(BD)/(AB)，AB=15，
∴BD＝3√(5)．（2分）

（2）作PH⊥MN，垂足为点H．
由垂径定理，得MN=2MH．（1分）
而PH＝(√(5))/(5)x，PM＝BD＝3√(5)，（1分）
∴y＝2√(45−(1)/(5)x2)，即y＝(2)/(5)√(1125−5x2)．（2分）
定义域为3√(5)≤x＜15．（1分）

（3）当AP=6√(5)时，∠CPN=∠A．（1分）
证明如下：
当AP=6√(5)时，PH=6，MH=3，AH=12，
∴AM=9．（1分）
∵AC=20，MN=6，
∴CN=5．（1分）
∵(AM)/(MP)＝(9)/(3√(5))＝(3√(5))/(5)，(PN)/(CN)＝(3√(5))/(5)，
∴(AM)/(MP)＝(PN)/(CN)．（1分）
又∵PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM．
∴∠AMP=∠PNC．（1分）
∴△AMP∽△PNC．（1分）
∴∠CPN=∠A．