知椭圆x^2/a^+y^2/b^=1的离心率为3分之根号6,短轴的一个端点到右焦点的距离为根号3,设过右焦点且斜率为1直线l与椭圆C交于AB两点,求△AOB的面积

Question

知椭圆x^2/a^+y^2/b^=1的离心率为3分之根号6,短轴的一个端点到右焦点的距离为根号3,
设过右焦点且斜率为1直线l与椭圆C交于AB两点,求△AOB的面积

Answer 1

短轴的一个端点到右焦点的距离为根号3
可得 a=√3
e=c/a= √6/3,
故 c=√2,可得 b²=1 ,右焦点（√2,0）
椭圆方程是 x^2/3+y^2=1
直线方程是 y=x-√2
组成方程组可得
4y²+2√2y-1=0
y1+y2= -√2/2 y1*y2=-1/4
(y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1*y2=3/2
|y1-y2|= √6/2
△AOB的面积= S△AOF+S△BOF=1/2*OF（|y1|+|y2|）=1/2*√2*（y1-y2）= √3/2
(若y1＞0,则y2＜0)