已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)和圆O:x^2+y^2=b^2,过椭圆上一点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B.(I)(i)若圆O过椭圆的两个焦点,求椭圆的离心率e；(ii)若椭圆上存在点P,使得∠APB=90°,求椭圆离心率e的取

Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)和圆O:x^2+y^2=b^2,过椭圆上一点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B.
(I)(i)若圆O过椭圆的两个焦点,求椭圆的离心率e；
(ii)若椭圆上存在点P,使得∠APB=90°,求椭圆离心率e的取值范围；
(II)设直线AB与x轴、y轴分别交于点M,N,求证：a^2/|ON|^2+b^2/|OM|^2为定值.

Answer 1

(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则
直线PA的斜率=(yo-y1)/(xo-x1),直线OA的斜率=y1/x1,因为PA⊥OA,所以两个斜率之积为-1,即
[(yo-y1)/(xo-x1)]*[y1/x1]= -1,化简得x1xo+y1yo= x1²+y1²,
因为A(x1,y1)在圆上,所以x1²+y1²=4,所以上式进一步化简得x1xo+y1yo= 4,即
y1=(4-x1xo)/yo …………①
同理,由PB⊥OB,可得
y2=(4-x2xo)/yo …………②
由两点式得AB的直线方程为(y-y1)/(x-x1)= (y2-y1)/(x2-x1),将①②代入化简得
AB的直线方程为xox+yoy= 4
(2)由以上AB的直线方程得：点M(4/xo,0),N(0,4/yo)
S△MON=0.5*|4/xo|*|4/yo|=8/|xoyo|
因为xo²/8+yo²/4=1≥2√[(xo²/8)(yo²/4)]=|xoyo|/2√2,即|xoyo|≤2√2
所以S△MON=8/|xoyo|≥8/2√2=2√2