求均匀带电小球内电势分布.RT、.、、、一个均匀带电小球.半径为R.带电量为Q.求离圆心r距离处的电势.

Question

求均匀带电小球内电势分布.
RT、.、、、一个均匀带电小球.半径为R.带电量为Q.求离圆心r距离处的电势.

Answer 1

电荷体密度ρ＝Q/V＝Q/(4/3πR³)
取与小球同心,半径为r的球面S为高斯面,则有高斯定理：
∮E·dS＝Σ(S内)q/ε0
当r≥R时,Σ(S内)q＝Q
∮E·dS＝E·4πr²＝Q/ε0
E(r)＝Q/(4πε0r²)
当r＜R时,高斯面内体积为V'＝4/3πr³
则Σ(S内)q＝ρV'＝Qr³/R³
∮E·dS＝E·4πr²＝Qr³/(R³ε0)
E(r)＝Qr/(4πε0R³)
小球内距球心r的一点的电势为：
U(r)＝∫(从r积到∞)E(r)·dr＝∫(从r积到R)E(r)·dr＋∫(从R积到∞)E(r)·dr
＝∫(从r积到R)Qr/(4πε0R³)dr＋∫(从R积到∞)Q/(4πε0r²)dr
＝Q/(4πε0R³)·(R²/2－r²/2)＋Q/(4πε0R)
＝Q/(4πε0)·[3/(2R)－r²/(2R³)]