已知椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程．

Question

已知椭圆 右顶点与右焦点的距离为 ，短轴长为 ．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为 ，求直线AB的方程．

Answer 1

已知椭圆 右顶点与右焦点的距离为 ，短轴长为 ．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为 ，求直线AB的方程．

（Ⅰ）由题意， ，解得 ．
即椭圆方程为
（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时， ，此时 不符合题意，故舍掉；
当直线AB与x轴不垂直时，
设直线 AB的方程为：y=k（x+1），
代入消去y得：（2+3k ² ）x ² +6k ² x+（3k ² ﹣6）=0．
设A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ），
则 ，
所以 ．
原点到直线的AB距离 ，
所以三角形的面积 ．
由 可得k ² =2，∴ ，
所以直线 或 ．