如图，在长方形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP=CQ．线段PQ的垂直平分线与直线BC、AD分别相交与点E、F点．（1）若E、F分

Question

如图，在长方形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP=CQ．线段PQ的垂直平分线与直线BC、AD分别相交与点E、F点．
（1）若E、F分别与B、D重合，求AP的长．
（2）当E、F在边BC、AD上时，设AP=x，BE=y，求y与x的函数关系式及x取值范围；
（3）是否存在这样的一点P，使△PQE为直角三角形？若存在，请求出AP的值，若不存在请说明理由．

Answer 1

（1）如图1，AP=x，则BP=8-x；
∵BD垂直平分PQ；
∴PB=BQ=8-x
Rt△BQC中
（8-x）²=x²+6²，
解得：x=(7)/(4)，则AP=(7)/(4)；

（2）连接EP、EQ
∵EF垂直平分PQ；
∴EP=EQ
在Rt△PBE和Rt△QCE中
（8-x）²+y²=x²+（6-y）²，
则y=(4x-7)/(3)，
∵0≤y≤6，
∴(7)/(4)≤x≤(25)/(4)；

（3）当E在BC边上，若△PQE为直角三角形，则只有∠PEQ=90°，
∵∠PEQ=90°，
∴∠PEB+∠QEC=90°，
∵∠BPE+∠PEB=90°，
∴∠BPE=∠QEC，
在△PBE和△ECQ中
∵

∠B=∠C

∠BPE=QEC

PE=QE

，
∴△PBE≌△ECQ（AAS），
则BE=CQ=x=y，
∵y=(4x-7)/(3)，
∴解得：x=7，
∵x=7不在定义域范围内，
∴不存在，
当E在边BC（或CB）延长线上时，△PQE每个角都小于90°，不可能为直角三角形，
综上所述，这样的P点不存在．