f′(cosX)=sinX,求f(cosX)=可以对函数f直接积分吗?积分的话积分变量不是cosX了吗,直接积分可以吗

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f′(cosX)=sinX,求f(cosX)=
可以对函数f直接积分吗?积分的话积分变量不是cosX了吗,直接积分可以吗

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答案和解析

两边同乘以－sinx,再进行不定积分,得
左＝∫f'(cosx)(-sinx)dx＝∫f'(cosx)d(cosx)＝f(cosx)＋C
右＝∫sinx(-sinx)dx＝1/2×∫(cos2x－1)＝1/2×[1/2×sin2x－x]＋C＝1/2×(sinxcosx－x)＋C
所以,f(cosx)＝1/2×(sinxcosx－x)

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