已知函数f（x）=elnx（e为自然对数）．对于函数f（x）与h（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k、b，使得f（x）≤kx+b和h（x）≥kx+b都成立，则称直线y=kx+b为函数f（x）与h（x）的分界线．设

Question

已知函数f（x）=elnx（e为自然对数）．对于函数f（x）与h（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k、b，使得f（x）≤kx+b和h（x）≥kx+b都成立，则称直线y=kx+b为函数f（x）与h（x）的分界线．设h（x）=(1)/(2)x ²，试探究函数f（x）与h（x）是否存在“分界线”？若存在，请给予证明，并求出k、b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

F（x）=h（x）-f（x）=(1)/(2)x ²-elnx（x＞0），
则F′（x）=x-(e)/(x)=((x−√(e))(x+√(e)))/(x)，
∴当0＜x＜√(e)时，F′（x）＜0，函数F（x）单调递减；
当x＞√(e)时，F′（x）＞0，函数F（x）单调递增．
∴x=√(e)是函数F（x）的极小值点，也是最小值点，
∴F（x）_min=F（√(e)）=0
∴函数f（x）与h（x）的图象在x=√(e)是处有公共点（√(e)，(1)/(2)e）．
设f（x）与h（x）存在“分界线”且方程为：y-(1)/(2)e=k（x-√(e)）．
令函数u（x）=(1)/(2)e+kx-k√(e)．
ⅰ）由h（x）≥u（x）⇒(1)/(2)x ²≥(1)/(2)e+kx-k√(e)在x∈R恒成立，
即x²-2kx-e+2k√(e)在R上恒成立，
∴△=4k²+4e-8k√(e)≤成立，而4（k-√(e)）²≥0，
∴k=√(e)，故u（x）=√(e)x-(1)/(2)e．
ⅱ）下面再证明：h（x）≥u（x）即elnx≤√(e)x-(1)/(2)e恒成立．
设φ（x）=elnx-√(e)x+(1)/(2)e，则φ′（x）=(e)/(x)-√(e)=(e−√(e)x)/(x)．
∴当0＜x＜√(e)时时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增；当时，φ′（x）＜0．函数φ（x）单调递减．
∴当x=√(e)时，φ（x）取得最大值0，则φ（x）≤φ（x）_max=0，
∴elnx≤√(e)x-(1)/(2)e（x＞0）成立．
综上ⅰ）和ⅱ）知：h（x）≥√(e)x-(1)/(2)e且f（x）=√(e)x-(1)/(2)e
故函数f（x）与h（x）存在“分界线“为y=√(e)x-(1)/(2)e，此时k=√(e)，b=-(1)/(2)e．