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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(-1,0),O为坐标原点,点G(1,22)在椭圆上,过点F的直线l交椭圆于不同的两点A、B.(1)求椭圆C的方程;(2)求弦AB的中点M的轨迹方程.

题目详情
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦点为F(-1,0),O为坐标原点,点G(1,
2
2
)在椭圆上,过点F的直线l交椭圆于不同的两点 A、B.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求弦AB的中点M的轨迹方程.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意有a2-b2=1,且
12
a2
+
(
2
2
)2
b2
=1,
解得a2=2,b2=1,
∴椭圆C的方程为
x2
2
+y2=1.…(4分)
(2)设M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则x=
x1+x2
2
y=
y1+y2
2

当x1=x2时,M点的坐标为(-1,0).
当x1≠x2时,
x12
2
+y12=1,
x22
2
+y22=1,
两式相减得
(x1+x2)(x 1-x2)
2
=-(y1+y2)(y1-y2),
2x
2•2y
=-
y1-y2
x1-x2

又AB过F点,于是AB的斜率为
y1-y2
x1-x2
=
y-0
x+1

x
2y
=-
y
x+1

整理得x2+2y2+x=0.
∵(-1,0)也满足上式,
∴M的轨迹方程为x2+2y2+x=0.…(12分)
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