已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点为F（-1，0），O为坐标原点，点G(1，22)在椭圆上，过点F的直线l交椭圆于不同的两点A、B．（1）求椭圆C的方程；（2）求弦AB的中点M的轨迹方程．

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a>b>0）的左焦点为F（-1，0），O为坐标原点，点G(1，(√(2))/(2))在椭圆上，过点F的直线l交椭圆于不同的两点 A、B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求弦AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

（1）由题意有a²-b²=1，且(12)/(a2)+(((√(2))/(2))2)/(b2)=1，
解得a²=2，b²=1，
∴椭圆C的方程为(x2)/(2)+y2=1．…（4分）
（2）设M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x=(x1+x2)/(2)，y=(y1+y2)/(2)
当x₁=x₂时，M点的坐标为（-1，0）．
当x₁≠x₂时，
∵(x12)/(2)+y12=1，(x22)/(2)+y22=1，
两式相减得((x1+x2)(x1-x2))/(2)=-(y1+y2)(y1-y2)，
∴(2x)/(2•2y)=-(y1-y2)/(x1-x2)．
又AB过F点，于是AB的斜率为(y1-y2)/(x1-x2)=(y-0)/(x+1)，
∴(x)/(2y)=-(y)/(x+1)，
整理得x²+2y²+x=0．
∵（-1，0）也满足上式，
∴M的轨迹方程为x²+2y²+x=0．…（12分）